夫が突然いなくなってしまいました。仕事も辞めて携帯も番号を変えたようで連絡をとることもできません。どうしたら離婚できるでしょうか？

公示送達とは、相手の住所地も就業場所の不明な場合に、裁判所の掲示板に送達すべき書類を掲示することで、相手に送達されたこととする手続きのことです。訴訟など裁判手続きをする場合には、相手方に必要な書面（訴訟であれば訴状など）が届く必要があります。しかし、相手が行方不明で書面を送ることができない場合に、訴訟ができないのでは不合理です。そのため、公示送達という手段によって、訴訟などを進めることができることになっています。今回のように、相手の住所も勤務先もわからない場合、公示送達によることが認められる可能性が高いと言えます。（実際には、相手の親族などに居場所を問い合わせたり、可能な限り調査をする必要があります。）

離婚は本来は調停前置主義といって、調停をしてからでないと離婚訴訟を提起することができません。しかし、今回のように相手が行方不明で調停に出頭する可能性がない場合には、訴訟を提起することが認められる可能性があります。

そのため、離婚訴訟を提起して、公示送達によって訴訟が進められ、相手方は出頭せずに判決によって訴訟が終了することになろうかと思います。もっとも、財産分与は強制執行が必要になると思います。そのため、訴訟提起にあたっては、強制執行が可能となるような財産分与にする必要があります。

行方不明になってから７年以上経過している場合には、失踪宣告の請求をすることも可能です。失踪宣告によると、期間満了時に死亡とみなされ、相続が開始されます。配偶者死亡によって、婚姻関係は解消されます。従いまして、相続の手続きによって財産関係も処理を進めることになります。
ただし、あくまで死亡したとみなされるだけですので、後に本人が現れた場合には、失踪宣告の取り消しという可能性があります。このような事態を避けたいのであれば、公示送達による離婚訴訟を選択するのがよいと言えます。